Pesachim[1](87b): R’ Eleazar said that G‑d only exiled Israel amongst the nations so that converts would join the Jewish people. This is alluded to in Hoshea (2:25): “And I will sow her unto Me in the land.” Obviously no one sows unless he expects to harvest much more than he sowed. R’ Yochanon deduced it from [the second part of] Hoshea (2:25): “And I will have mercy upon her who had not obtained mercy [and I will say to them who were not My people, you are My people – Rashi].
[1] פסחים (פז:): ואמר רבי אלעזר: לא הגלה הקדוש ברוך הוא את ישראל לבין האומות אלא כדי שיתוספו עליהם גרים, שנאמר (הושע ב:כה) וזרעתיה לי בארץ. כלום אדם זורע סאה - אלא להכניס כמה כורין. ורבי יוחנן אמר מהכא: (הושע ב:כה) ורחמתי את לא רחמה.
Maharsha[1](Pesachim 87b): Jews were not sent into exile except so converts could join the Jewish people - Because if it were merely a punishment then it would be possible to punish them in another way. Therefore it must be in order that converts could join. In other words exile serves to publicize the Jewish faith amongst the nations.
[1] מהרש"א (פסחים פז:): לא הגלה כו'. דאי משום עונש חטאם אפשר היה לו לעונשם בדברים אחרים אלא כדי שיתוספו עליהם גרים דהיינו לפרסם האמונה גם בשאר עובדי כוכבים...
Orchos Tzadikim[1](Shaar 23 – Truth): Our exile has been excessively prolonged due to our many sins. Therefore Jews should detach themselves from the nonsense of the world and to hold on to the signature of G‑d which is truth. In addition they should sanctify themselves even concerning that which is permitted to them (Yevamos 20a). They should not lie either to another Jew or to a non‑Jew nor should they deceive them in any manner. Tzefaniah (3:13) states, “The remnant of Israel should not do wrong and not speak falsely nor should any deception come from their mouths.” Pesachim (87b) cites Hoshea (2:25) that the Jews will be sown throughout the world. The gemora notes that one does not sow seeds unless there is expectation to harvest much more than was sown. It concludes that G‑d sent the Jews into exile only in order to have converts attached to them. However only as long as the Jews deal honestly with the non‑Jews will the non‑Jews be attracted to them
[1] ארחות צדיקים (השער כ"ג - שער האמת): עתה שהאריכה הגלות בעוונותינו הרבים יותר מדאי יש לישראל להיבדל מהבלי העולם ולאחוז בחותמו של הקדוש ברוך הוא שהוא אמת, ולקדש עצמם אף במותר להם (יבמות כ א), ולא לשקר לא לישראל ולא לגוי, ולא להטעותם בשום ענין, שנאמר (צפניה ג:יג): "שארית ישראל לא יעשו עולה ולא ידברו כזב ולא ימצא בפיהם לשון תרמית". ועוד כתיב (הושע ב:כה): "וזרעתיה לי בארץ", (פסחים פז:): כלום אדם זורע סאה אלא להכניס כמה כורים - כך לא הגלה הקדוש ברוך הוא את ישראל לבין האומות אלא כדי שיתווספו עליהם גרים. וכל זמן שהם מתנהגים עמהם בלא מרמה, ידבקו בהם:
Rav Tzadok[1](Pri Tzadik – Parshas Parah #3): … This that it says in Pesachim (87b) that G‑d exiled Israel only in order to have converts join them.. This is explained [Arizal] that it doesn’t mean actual converts but rather the gathering of sparks of kedusha and vitality which are found amongst the nations. These sparks are extracted from the nations by means of Jewish exile….
[1] רב צדוק (פרי צדיק פרשת פרה - אות ג): ...מה שאמרו (פסחים פז:) לא הגלה הקב"ה את ישראל כו', אלא כדי שיתוספו עליהם גרים ופירשו ז"ל שאין המכוון על גרים ממש רק על ניצוצין קדישין וחיות שיש באומות בסוד ואתה מחיה את כולם וזה מוציאים על ידי הגליות...