Using name of adoptive father or Jewish father

The question was raised whether a convert who has a Jewish father can use his father's name. Below are some teshuvos from Igros Moshe which discuss an adopted child using his stepfather's name. There is also a teshuva of the Minchas Yitzchok regarding a convert using his Jewish father's name instead of saying "son of Avraham". This is not to be taken as a definitive list - but merely to show some of the literature involved in the matter. Obviously a rav needs to be consulted for actual halacha.

שו"ת אגרות משה יורה דעה חלק ד סימן סה

יב. במה שיכולים לקרוא לאדם שהוא בן מי שגדלו

והמקור שיכולין לקרוא לאדם שהוא בן המגדלו, הוא בסנהדרין דף י"ט ע"ב שהקרא כתב חמשת בני מיכל, אף שהיו בני מירב, ועוד קראי. והגר"א בחו"מ סימן מ"ב ס"ק מ"ב ציין זה על הרמ"א שם בסעיף ט"ו, שכ' מי שמגדל יתום בתוך ביתו וכתב עליו בשטר בני, או היתום כתב על המגדלו אבי או אמי, לא מקרי מזוייף וכשר הואיל וגדלוהו ראוי לכתוב כך.

שו"ת אגרות משה אבן העזר חלק א סימן צט

בחתן שאין ידוע שם אביו איך לכתוב בכתובה.

ובדבר חתן שאין ידוע שם אביו אם לכתוב בכתובה שם בעלה השני שמגדלו כאב או לכתוב אברהם אבינו או לכתוב שם אמו או שמו לבד, הנכון לע"ד לכתוב בנוסח כזה בן מי שנשכח שמו ונקרא בן פלוני שגידלו ובשעת הקריאה תחת החופה כנהוג אם ירגיש כתר"ה שאין זה כבוד להמגדלו יוכל כתר"ה לדלג התיבות הנוספות אבל בכתיבה יכתבו כאשר כתבתי. כי לכתוב בן אברהם אבינו אי אפשר שהרי יאמרו שהוא גר ואינו חתן זה ולא תוכל לגבות ממנו בשטר זה ונמצא שהיא כתובה פסולה. ואין לכתוב שם האם או שמו לבד משום דיאמרו שהוא שתוקי או אסופי ויוציאו לעז על זרעו. ולכתוב שם שגידלו לבד אף שיש מקום לכתוב סתם בן על המגדלו כדאיתא סברא כזו מ"מ לכתחלה אין לעשות כן אלא לכתוב דברים מפורשין כדבארתי, ידידו, משה פיינשטיין

שו"ת אגרות משה אבן העזר חלק ד סימן כו

ב. ולענין גט שנכתב בו שם האב על שם מי שגדלתה או שגדלו כשלא ידע שם האב ליכא קפידא כל כך מאחר שמוחזקת בשם בת איש זה וגם בתורה מצינו כהא אליבא דרמב"ן (במדבר פרק כו פסוק מו) דשרח לא היתה בת אשר אלא בת אשת אשר ומ"מ קראה הכתוב בת אשר וכהנה עוד הרבה, אבל לכתוב טוב להזכיר בפירוש בגט בת פלוני שגדלתה כבתו אבל במקום עיגון יש להתיר גם בסתמא.

פסקי דין - ירושלים דיני ממונות ובירורי יהדות ה עמוד רא

וממה שלא חילקו בהלכה בדינו של הגר, משמע שהוא הדין בגר שאביו ישראל ואמו נכרית שאין להזכיר שם אביו מולידו אלא בן אאע"ה. אלא שיש להסתפק האם ה"ה כשגדל אצל אביו. דהנה כתב בתשו' מיימוני לס' משפטים סי' מח בשם מהר"ם, הובא ברמ"א בשו"ע חו"מ סו"ס מב, יתום שכתב בשטר שם אביו המגדלו, לא מיקרי מזוייף וכשר, הואיל וגדלוהו ראוי לכתוב כך, וכתב בהגר"א שם שכן מבואר בגמ' סנהדרין יט ב וכי מיכל ילדה והלא מירב ילדה, מירב ילדה ומיכל גידלה לפיכך נקראו על שמה, ללמדך שכל המגדל יתום בתוך ביתו מעלה עליו הכתוב כאילו ילדו. ועי' פת"ש שם בשם התומים והחת"ס על סברת הכנה"ג אם דוקא כשאין למגדל בנים אחרים או אף כשיש לו בנים אחרים. וי"ל שה"ה בגר שגדל אצל אביו הישראל אם הזכיר שם אביו המגדלו כשר אע"פ שלא כתב בן אאע"ה. אך י"ל שלא אמרו כן אלא בישראל יתום ולא בגר, וביותר בגט, כיון שבהעלמת היותו גר עלול לצאת מכך תקלה של היתר נישואין שלא כדין. וכן מסתבר.

פסקי דין - ירושלים דיני ממונות ובירורי יוחסין ז עמוד תקכד

וגר שאביו ישראל, עי' שו"ת מנחת יצחק ח"א סי' קלו שהרב השואל הביא ראיה מדברי הרמ"א בשו"ע אבהע"ז סי' טו סעי' י דלחומרא נקרא ע"ש אביו, ושיש לזה ראיה מהכתוב ויצא בו אשה ישראלית והוא בן איש מצרי, דאע"פ דולדה כמותה נקרא אחרי אביו, וכן י"ל להיפך דהיכא דהוא מנכרית ואביו מישראל אע"ג דהולד כמותה יקרא בן פלוני. והמנחת יצחק מסיק דאין ראוי להקרא בנו ולשנות משאר גר (וכ"כ בשו"ת שמש ומגן ח"ג סי' נא שגר שכתב שם אביו הישראל, ולא כתב בן א"א הוי מזוייף מתוכו, וראוי לכתוב גט אחר). ועי' שו"ת לבושי מרדכי ח"א אבהע"ז סי' לח שהוכיח מגמ' יבמות קא בעובדא דרב יהודה שהיה גר, ובתוס' שם כתבו דר"ש בר יהודה הוא בן רב יהודה הנדוואה דאמרו בקדושין כב ב דגר שאין לו יורשין הוה, שנתגייר הוא ואביו, ומוכח דאפי' מי שנתגייר עם אביו נקרא על שם אביו.