Rav Menashe Klein has a long teshuva (Misheh Halachos vol 14 1-11) where he states very clearly that a husband does not have to give his wife a get if she goes to secular court without the permission of beis din. He says this is the view of the majority of achronim - including the Maharsham (7:159) and Rav Moshe Feinstein. He also says that the husband does not need a heter meah rabbonim if his wife goes to secular court without permission - but that it is best for her sake to deposit a get with beis din because she might eventually withdraw from the secular court. None the less he notes it is the custom today to deposit a get with beis din when receiving a heter meah rabbonim [This is also the view of Rav Moshe Sternbuch (4:301)] Thus he claims the majority of achronim permit a man to remarry with a heter meah rabbonim if they deposit a get with beis din - to be given when the wife renounces the rulings of the secular court. If there is no heter meah rabbonim then there is no need to give a get. Thus there is no difference between the view of Rav Moshe Feinstein and Rav Moshe Sternbuch in this matter. See the discussion in the comments to the post about Yoel Weiss
================================================
שו"ת משנה הלכות חלק יד סימן ז
עוד להנ"ל
אשה שהלכה לערכאות אי בעלה זקוק להיתר מאה רבנים, ולהשליש גט
ט) ולכן פשוט דאשה שהלכה בערכאות ועדיין עומדת במרדה בערכאות כל זמן שהיא עומדת בערכאות כתבו רבותינו האחרונים דאין צריך כלל להיתר מאה רבנים דעל כה"ג לא גזר מעולם רגמ"ה שלא יוכל הבעל לישא אשה ועם אשה זו אינו יכול לדור וגם אסור לו לדור עמה, שהרי כתב הרמב"ם (הנ"ל) שהיא גרוע מהעכו"ם ולכן ההיתר שנותנין לו הוא רק ליתר שאת ולהיות לו לכסות עינים בפני בנ"א שלא יראה כנושא שתי נשים, אבל מעצם דינא לא בעי היתר כלל וכ"כ הגאון הגדול המהרש"ם ז"ל (ח"ז סי' קנ"ט) שהאריך הרבה באשה שהלכה לערכאות כמה פעמים ומסרה את בעלה וכמה צרות והיתה מסרבת לבוא לב"ד ומסיק להתיר לבעלה לישא אשה בלי היתר מאה רבנים אלא שיעץ אותו הבעל שישא אעפ"כ רק בהיתר מאה רבנים ע"ש, וכ"כ האחרונים הלכה למעשה.
י) וכיון דלא צריך הבעל היתר מאה רבנים כ"ש דלא בעי להשליש גט בב"ד כיון דמעיקר דינא השלשת גט כמעט לא נזכר בראשונים אלא שהנוב"י (א"ע קמא סי' ג') כתב לא רצינו לבטל מנהג ראשונים כי אולי רגמ"ה התנה כך שלא יתירו רק בהשלשת הגט היכא דמתירין לגרש בע"כ (ועיין בי"ש וקצ"ע) ולא תקנו אלא היכא שהיא מסרבת לקבל גט שנמצא כמגרש בע"כ או שהיא חולה, אבל היכא דלא בעי היתר מאה רבנים לא בעי להשליש גט נמי לפי רוב האחרונים ז"ל וכמו שכתבנו לעיל בשם הגאון מהרש"ם זצ"ל וכ"כ הגרמ"פ זצ"ל.
ומ"מ לעצם הענין כיון דנוהגין כהיום ליתן היתר מאה רבנים מאן יקל ראשו להתיר בלי מאה רבנים וגם בלי להשליש גט יהיה מאיזה טעם שיהי', וכ"כ האחרונים הנ"ל דלכתחילה יש לקבל היתר של מאה רבנים אפי' בכה"ג. ולפענ"ד הוספתי דאפשר דכאן יש להשליש גט אפי' היכא דנושא בלי היתר מאה רבנים דהני תרי מילי נינהו ההיתר הוא שיוכל לישא וכיון שהוא מותר לישא בלי היתר א"כ ההיתר לא מעכב, ומיהו הגט שהיא לטובתה ואפשר שתתחרט ותחזור מהערכאות ותתרצה בדיני תורה ובגט ותקבל על עצמה דיני תורה, לכן יש לסדר גט בכל אופן ולהשליש.